Question

已知，Rt△ABC中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以O(shè)為坐標原點建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)P、Q分別為AB邊、OB邊上的動點，它們同時分別從A、O向B勻速移動，速度都為1cm/s，設(shè)PQ移動時間為ts（0≤t≤4）．
（1）過點P作PM⊥OA于M，證明：

AM

AO

=

PM

BO

=

AP

AB

，并求出點P的坐標（用t表示）
（2）求△OPQ的面積S（cm²）與移動時間（t）之間的函數(shù)關(guān)系式，當t為何值時，S有最大值？求出S的最大值．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）先證明PM∥OB，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例定理證明即可；利用勾股定理證出AB的長，而AP=t，再根據(jù)對應(yīng)邊成比例求出AM，PM的值，從而得出點P的坐標；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，P點的縱坐標與OQ的長度的積的一半就是△OPQ面積，整理后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解即可．

解答：解：（1）∵∠AOB=90°，PM⊥OA，
∴PM∥OB，
∴

AM

AO

=

PM

BO

=

AP

AB

，
∵OA=3cm，OB=4cm，
∴在Rt△OAB中，AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5cm，
∵AP=1•t=t，
∴

AM

3

=

PM

4

=

t

5

，
∴PM=

4

5

t，OM=OA-AM=3-

3

5

t，
∴點P的坐標（

4

5

t，3-

3

5

t）；

（2）∵OQ=1•t=tcm，
∴S_△OPQ=

1

2

×t×（3-

3

5

t）=-

3

10

t²+

3

2

t=-

3

10

（t-

5

2

）²+

15

8

，
∴當t=

5

2

時，S有最大值，最大值為

15

8

．

點評：此題考查了相似形的綜合，用到的知識點是勾股定理、相似三角形對應(yīng)邊成比例定理及三角形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)題意求出點P的坐標．