(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,D是BC的中點,
∴AD⊥BC,且∠BAD=
∠BAC=30°,
∵△AED是等邊三角形,
∴AD=AE,∠ADE=60°,
∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°,
∵ED∥CF,
∴∠FCB=∠EDB=30°,
∵∠ACB=60°,
∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°,
∴∠ACF=∠BAD=30°,
在△ABD和△CAF中,
,
∴△ABD≌△CAF(ASA),
∴AD=CF,
∵AD=ED,
∴ED=CF,
又∵ED∥CF,
∴四邊形EDCF是平行四邊形,
∴EF=CD.
(2)解:△AEF和△ABC的面積比為:1:4;
(3)解:成立.
理由如下:∵ED∥FC,
∴∠EDB=∠FCB,
∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF,∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB
∴∠AFC=∠BDA,
在△ABD和△CAF中,
∴△ABD≌△CAF(AAS),
∴AD=FC,
∵AD=ED,
∴ED=CF,
又∵ED∥CF,
∴四邊形EDCF是平行四邊形,
∴EF=DC.
分析:(1)根據(jù)△ABC和△AED是等邊三角形,D是BC的中點,ED∥CF,求證△ABD≌△CAF,進而求證四邊形EDCF是平行四邊形即可;
(2)在(1)的條件下可直接寫出△AEF和△ABC的面積比;
(3)根據(jù)ED∥FC,結合∠ACB=60°,得出∠ACF=∠BAD,求證△ABD≌△CAF,得出ED=CF,進而求證四邊形EDCF是平行四邊形,即可證明EF=DC.
點評:此題主要考查學生對平行四邊形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質的理解和掌握.此題涉及到的知識點較多,綜合性較強,難度較大.