Question

11．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AE平分∠BED，PE⊥AE交BC于點(diǎn)P，連接PA，以下四個(gè)結(jié)論：①BE平分∠AEC；②PA⊥BE；③AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB；④PB=2PC．則正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 1個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出△ADE≌△BCE（SAS），進(jìn)而求出△ABE是等邊三角形，再求出△AEP≌△ABP（SSS），進(jìn)而得出∠EAP=∠PAB=30°，分別的得出AD與AB，PB與PC的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：∵在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，
∴DE=EC，
在△ADE和△BCE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠D=∠C}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE，∠DEA=∠CEB，
∵AE平分∠BED，
∴∠AED=∠AEB，
∴∠AED=∠AEB=∠CEB=60°，
故：①BE平分∠AEC，正確；
可得△ABE是等邊三角形，
∴∠DAE=∠EBC=30°，
∵PE⊥AE，
∴∠DEA+∠CEP=90°，
則∠CEP=30°，
故∠PEB=∠EBP=30°，
則EP=BP，
在△AEP和△ABP中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{AP=AP}\\{EP=BP}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△ABP（SSS），
∴∠EAP=∠PAB=30°，
又∵AE=AB，
∴AP⊥BE，故②正確；
∵∠DAE=30°，
∴$\frac{DE}{AD}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴3DE=$\sqrt{3}$AD，
∴AD=$\sqrt{3}$DE，
∴③AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB正確；
∵∠CEP=30°，
∴CP=$\frac{1}{2}$EP，
∵EP=BP，
∴CP=$\frac{1}{2}$BP，
∴④PB=2PC正確．
總上所述：正確的共有4個(gè)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了四邊形綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確得出△AEP≌△ABP是解題關(guān)鍵．