Question

已知過P（0，1）的直線與y=x²交于A、B兩點(diǎn)，S_△AOB=3

2

．求直線AB的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

專題：計(jì)算題

分析：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+1，由兩解析式組成方程組后消去y得到關(guān)于x的方程x²-kx-1=0，解得x₁=

k+ k2+4

2

，x₂=

k- k2+4

2

，于是得到兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用S_△AOB=S_△OAP+S_△OBP=3

2

可得到關(guān)于k的方程，然后解方程即可．

解答：解：如圖，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+1，

y=x2 y=kx+1

，消去y得到x²-kx-1=0，
所以x₁=

k+ k2+4

2

，x₂=

k- k2+4

2

，
即點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為

k+ k2+4

2

和

k- k2+4

2

，
所以S_△AOB=S_△OAP+S_△OBP=3

2

，
即

1

2

•（-

k- k2+4

2

）•1+

1

2

•

k+ k2+4

2

•1=3

2

，
解得k=±2

71

，
所以直線AB的解析式為y=2

71

x+1或y=-2

71

x+1．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對稱軸直線x=-

b

2a

，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減�。粁＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減��；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．