Question

17．如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，以BC為底邊作一個頂角為120°的等腰三角形△DBC，以D為頂點(diǎn)作∠EDF=60°，使點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，邊AC上運(yùn)動，G在AC延長線上且CG=BE，連接EF，GD．
（1）求證：△BED≌△CGD；
（2）試判斷當(dāng)E，F(xiàn)點(diǎn)的位置變化時，是否影響△EAF周長的大小？若有影響，試說明怎樣影響；若無影響，請求出△EAF的周長．

Answer 1

分析 （1）由三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩個角為60°，AB=AC=BC，再由三角形BDC為頂角為120°的等腰三角形，利用等式的性質(zhì)得到一對角相等，利用SAS即可得證；
（2）當(dāng)E，F(xiàn)點(diǎn)的位置變化時，不影響△EAF周長的大小，周長為8，理由為：延長AB到M，使BM=FC，利用SAS得到三角形BDM與三角形FCD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到DM=DF，再利用SAS的三角形EDM與三角形EDC全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EM=EF，由三角形AEF周長為AE+EF+AF，等量代換得到結(jié)果為AB+AC，求出周長即可．

解答 解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵DB=DC，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠EBD=∠GCD=90°，
在△EBD和△GCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=CG}\\{∠EBD=∠GCD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△EBD≌△GCD（SAS）；
（2）當(dāng)E，F(xiàn)點(diǎn)的位置變化時，不影響△EAF周長的大小，周長為8，理由為：
延長AB至M，使BM=CF，連接MD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
又∠BDC=120°，
∴A、B、D、C共圓，
∴∠MBD=∠FCD，
∵BM=CF，BD=CD，
∴△BDM≌△CDF，
∴DM=DF，∠BDM=∠CDF，
∵∠EDF=60°，
∴∠EDM=∠BDE+∠BDM=∠BDE+∠CDF=∠BDC-∠EDF=60°，
∴∠EDG=∠EDF，
∵DM=DF，DE=DE，
∴△EDM≌△EDF，
∴EM=EF，
∴△AEF的周長=AE+EF+AF=AE+EM+AF=AE+BE+BM+AF=AB+CF+AF=AB+AC=4+4=8．

點(diǎn)評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．