Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AB=2，BC=5，直角三角板含45°角的頂點E在邊BC上移動，一直角邊始終經(jīng)過點A，斜邊與CD交于點F．
（1）若CE=AB，求CF的長度．
（2）若△CEF是直角三角形，求CF的長度．

Answer 1

解：（1）在△ABE中，∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，
∵∠B=45°，∠AEF=45°，
∴∠BAE=∠CEF，
在△ABE和△ECF中，
，
∴△ABE≌△ECF（ASA），
∴CF=BE，CE=AB，
∵AB=2，BC=5，
∴CF=BE=BC-AB=5-2；


（2）∵AD∥BC，∠B=45°，
∴∠C=∠B=45°，
①如圖1，∠EFC=90°時，∠CEF=90°-∠C=90°-45°=45°，
∴∠AEB=180°-∠AEF-∠CEF=180°-45°-45°=90°，
∵AB=2，
∴BE=×2=2，
∵BC=5，
∴CE=BC-BE=5-2=3，
在Rt△CEF中，CF=CE=；

②如圖2，∠CEF=90°時，∠AEB=180°-45°-90°=45°，
∴∠BAE=180°-∠B-∠BAE=180°-45°-45°=90°，
∵AB=2，
∴BE=AB=×2=4，
∵BC=5，
∴CE=BC-BE=5-4=1，
在Rt△CEF中，CF=CE=，
綜上所述，CF的長度為或．
分析：（1）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式求出∠BAE=∠CEF，再利用“角邊角”證明△ABE和△ECF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CF=BE，CE=AB，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解；
（2）根據(jù)等腰梯形同一底上的兩底角相等求出∠C=∠B=45°，再分①∠EFC=90°時，∠CEF=45°，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質求出BE，再求出CE，然后求出CF即可；②∠CEF=90°時，求出∠AEB=45°，然后求出∠BAE=90°，再根據(jù)等腰直角三角形求出BE，再求出CE，然后求出CF即可．
點評：本題考查了等腰梯形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，主要利用了等腰梯形同一底上的兩底角相等的性質，（2）要分情況討論求解．