Question

如圖，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，它們的速度均為2cm/s．連接PQ，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t（單位：s）（0≤t≤4）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC．
（2）設(shè)△AQP的面積為S（單位：cm²），當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）s；（2）t=s時(shí)，S取得最大值為cm²；（3）不存在

試題分析：（1）由PQ∥BC可得，即，解出即可；
（2）先根據(jù)勾股定理的逆定理證得∠C=90°，過P點(diǎn)作PD⊥AC于點(diǎn)D，則PD∥BC，，即，解得PD=6﹣t，即可得到S關(guān)于t的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果；
（3）假設(shè)存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，則有S_△AQP=S_△ABC=12．由（2）可知，S_△AQP=﹣t²+6t，則有﹣t²+6t=12，根據(jù)此方程無解，即可作出判斷．
（1）∵PQ∥BC
∴
即       
解得t=
∴當(dāng)t=s時(shí)，PQ∥BC  
（2）∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴∠C=90°  
過P點(diǎn)作PD⊥AC于點(diǎn)D．

∴PD∥BC，
∴，
即，
解得PD=6﹣t    
∴S=×AQ×PD=×2t×（6﹣t）
=﹣t²+6t=﹣（t﹣）²+，
∴當(dāng)t=s時(shí)，S取得最大值，最大值為cm² 
（3）假設(shè)存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，
則有S_△AQP=S_△ABC=12．
由（2）可知，S_△AQP=﹣t²+6t，
∴﹣t²+6t=12，
化簡得：t²﹣5t+10=0，
∵△=（﹣5）²﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程無解，
∴不存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分．
點(diǎn)評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．