Question

14．如圖，直線l經(jīng)過正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P，并交邊BC、DA于E、F兩點(diǎn)，將直線l繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到直線l′，并交邊AB、CD于G、H兩點(diǎn)．若AB=4，GH=2$\sqrt{5}$，則EF的值為$\frac{4\sqrt{10}}{3}$．

Answer 1

分析 作AK∥EF交BC于K、作AM∥GH交CD于M，可得∠KAM=45°，作∠KAN=45°交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，求出∠DAM=∠BAN，然后利用“ASA”證明△DAM≌△BAN，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AM=AN、DM=BN，利用勾股定理求出DM，過點(diǎn)K作KP⊥AN于P，可得△KAP是等腰直角三角形，設(shè)AK=EF=x，表示出KP，然后利用∠N的正切值列出方程求解即可．

解答 解：如圖，作AK∥EF交BC于K，作AM∥GH交CD于M，

則AM=GH=2$\sqrt{5}$，AK=EF，
∵∠GPF=45°，
∴∠KAM=45°，
∴∠BAK+∠DAM=90°-45°=45°，
作∠KAN=45°交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則∠BAK+∠BAN=45°，
∴∠DAM=∠BAN，
在△DAM和△BAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠BAN}\\{AD=AB}\\{∠D=∠ABN=90°}\end{array}\right.$，
∴△DAM≌△BAN（ASA），
∴AM=AN，DM=BN，
在RT△ADM中，DM=$\sqrt{A{M}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=2，
過點(diǎn)K作KP⊥AN于P，
∵∠KAP=45°，
∴△KAP是等腰直角三角形，
設(shè)AK=EF=x，則AP=KP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵tan∠N=$\frac{AB}{BN}=\frac{KP}{NP}$，
∴$\frac{4}{2}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{2\sqrt{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}x}$，
解得：x=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
所以EF=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{10}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．