Question

【題目】定義：有一組對邊平行，有一個內(nèi)角是它對角的一半的凸四邊形叫做半對角四邊形，如圖1，直線，點，在直線上，點，在直線上，若，則四邊形是半對角四邊形．

（1）如圖1，已知，，，若直線，之間的距離為，則AB的長是____，CD的長是______；

（2）如圖2，點是矩形的邊上一點，，．若四邊形為半對角四邊形，求的長；

（3）如圖3，以的頂點為坐標原點，邊所在直線為軸，對角線所在直線為軸，建立平面直角坐標系．點是邊上一點，滿足．

①求證：四邊形是半對角四邊形；

②當，時，將四邊形向右平移個單位后，恰有兩個頂點落在反比例函數(shù)的圖象上，求的值．

Answer 1

【答案】（1）2；；（2）AD=3；（3）①證明見解析；②的值為為或．

【解析】

（1）過點作于點，過點作于點，通過解直角三角形可求出，的長；

（2）根據(jù)半對角四邊形的定義可得出，進而可得出，由等角對等邊可得出，結(jié)合即可求出的長；

（3）①由平行四邊形的性質(zhì)可得出，，進而可得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可得出，再結(jié)合半對角四邊形的定義即可證出四邊形是半對角四邊形；

②由平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合，可得出點，，的坐標，分點，落在反比例函數(shù)圖象上及點，落在反比例函數(shù)圖象上兩種情況考慮：利用平移的性質(zhì)及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出值，再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出值；同可求出值．綜上，此題得解．

解：（1）如圖1，過點作于點，過點作于點．

，

，．

在中，；

在中，．

故答案為：2；．

（2）如圖2，

四邊形為半對角四邊形，

，

，

，

．

（3）如圖3，

①證明四邊形為平行四邊形，

，，

，

．

又，

四邊形是半對角四邊形；

②由題意，可知：點的坐標為，，點的坐標為，，點的坐標為．

當點，向右平移個單位后落在反比例函數(shù)的圖象上時，，

解得：，

；

當點，向右平移個單位后落在反比例函數(shù)的圖象上時，

，

解得：，

．

綜上所述：的值為為或．