Question

如圖，兩個(gè)同心圓的圓心為O，兩圓的半徑分別為5，3，其中A，B兩點(diǎn)在大圓上，C，D在小圓上，且∠AOB=∠COD．

（1）求證：AC=BD；

（2）若∠AOB=120°，求線段AC，弧CD，線段BD，弧AB組成的封閉圖形的面積；

（3）若AB與小圓相切，分別求AB，CD的長(zhǎng)．

 

 

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）8，．

【解析】

試題分析：（1）如要證明AC=BD，則通過(guò)可證明△AOC≌△BOD即可；

（2）由題意可知線段AC，弧CD，線段BD，弧AB組成的封閉圖形的面積，即為扇形AOB的面積，即為△ACO繞O旋轉(zhuǎn)120度后，AC掃過(guò)的面積；

（3）切點(diǎn)為E，連接OE，首先利用勾股定理可求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AB的長(zhǎng)，再證明△AOC∽△BOD，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出CD的長(zhǎng)．

(1)證明：在△AOC和△BOD中，

∵∠AOB=∠COD

∴∠AOC=∠BOD

∵OA=OB，OC=OD

∴△AOC≌△BOD，

∴ AC=BD．

（2）封閉圖形的面積=×16=．

（3）【解析】
設(shè)切點(diǎn)為E，連接OE，

∵AB與小圓相切，

∴OE⊥AB，AB=2BE

由勾股定理得，BE=4，

∴AB=8．

∵∠AOB=∠COD，，

∴△AOC∽△BOD，

∴

∴CD=．

考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.勾股定理；4.相似三角形的判定與性質(zhì)．