Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是等腰梯形．BC∥OA，∠COA=60°，OA、AB（OA＞AB）是方程x²-11x+28=0的兩個(gè)根．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求線段AC的長(zhǎng)；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵OA、AB（OA＞AB）是方程x²-11x+28=0的兩個(gè)根，
∴（x-7）（x-4）=0，
∴x₁=4，x₂=7，
∴AO=7，AB=4，
∴CO=AB=4，
∵∠COA=60°，
∴∠OCE=30°，
∴OE=CO=2，
∴CE==2，
∴FO=EO+EF=2+3=5，
BF=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（5，2）；

（2）∵四邊形OABC是等腰梯形，
∴CA=OB，
∴AC=BO==，

（3）存在．
如圖所示即可得出：
①當(dāng)AP=AC時(shí)，P₁（7+，0），P₂（7-，0），
②當(dāng)AC=PC時(shí)，P₃（-3，0），
③當(dāng)AP=CP時(shí)，P₄（3.3，0）．
綜上可得：P₁（7+，0），P₂（7-，0），P₃（-3，0），P₄（3.3，0）．
分析：（1）首先解方程x²-11x+28=0，得出AB，AO的長(zhǎng)，再利用∠COA=60°，得出EO的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CE的長(zhǎng)以及FO的長(zhǎng)，從而得出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用等腰梯形的性質(zhì)得出BO=AC，進(jìn)而求出其長(zhǎng)度；
（3）利用等腰三角形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得符合要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及等腰梯形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，第（3）題容易漏解注意此類問(wèn)題的解題方法應(yīng)熟練應(yīng)用．