Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C（0，3）為圓心，5為半徑作圓，交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸正半軸于P點(diǎn)，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B兩點(diǎn)．
（1）求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求此拋物線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,勾股定理

專題：

分析：（1）連結(jié)AC，由題意得CO=3，AC=5，根據(jù)勾股定理求出AO的長(zhǎng)，再由對(duì)稱軸的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)CP=5得出OP=8，故可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）連結(jié)AC，由題意得CO=3，AC=5．
∵CO⊥AO，
∴△ACO是直角三角形且∠ACO是直角，
∴AO=

AC2-CO2

=

52-32

=4．
∵由題意可得y軸是拋物線的對(duì)稱軸，
∴BO=AO=4．
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）．

（2）∵CP=5，
∴OP=CO+CP=3+5=8，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ 0，8），
∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax²+8，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-4，0），
∴a（-4）²+8=0
解得a=-

1

2

．
∴該拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．