如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于點A、B，線段AB為直角邊在第一象限內作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°.

（1）求△AOB的面積；

（2）求點C坐標；

（3）點P是x軸上的一個動點，設P（x,0）

①請用x的代數(shù)式表示PB2、PC2；

②是否存在這樣的點P，使得|PC-PB|的值最大？如果不存在，請說明理由；

如果存在，請求出點P的坐標.

 

【答案】

(1)6；（2）（7，4）；（3）①，；②存在這樣的P點，P（3，0）.

【解析】

試題分析：（1）先由直線求出A、B兩點的橫坐標，即OA、OB的長，從而可求出△AOB的面積；

（2）過C點作CD⊥x軸，垂足為D，構造Rt△ADC.易證△OAB≌△DCA，從而可求出CD=4，OD=7,所以C點坐標為（7，4）；

（3）①由（2）可知，PD=7-x，在Rt△OPB中，，Rt△PCD中，

②存在這樣的P點．P（3，0）.

試題解析：（1）由直線，令y=0，得OA=x=4，令x=0，得OB=y=3，∴S△AOB=×4×3=6；

（2）過C點作CD⊥x軸，垂足為D，

∵∠BAO+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠BAO=∠ACD，

又∵AB=AC，∠AOB=∠CDA=90°，

∴△OAB≌△DCA，

∴CD=OA=4，AD=OB=3，則OD=4+3=7，

∴C（7，4）；

（3）①由（2）可知，PD=7-x，

在Rt△OPB中，PB2=OP2+OB2=x2+9，

Rt△PCD中，PC2=PD2+CD2=（7-x）2+16=x2-14x+65，

②存在這樣的P點．

設B點關于 x軸對稱的點為B′，則B′（0，-3），

連接CB′，設直線B′C解析式為y=kx+b，將B′、C兩點坐標代入，得

解得

所以，直線B′C解析式為y=x-3，

令y=0，得P（3，0），此時|PC-PB|的值最大，

考點：一次函數(shù)綜合題．

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知直線數(shù)學公式與x軸交于點A，與y軸交于點B，C是線段AB的中點．拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）過O、A兩點，且其頂點的縱坐標為數(shù)學公式．

（1）分別寫出A、B、C三點的坐標；
（2）求拋物線的函數(shù)解析式；
（3）在拋物線上是否存在點P，使得以O、P、B、C為頂點的四邊形是菱形？若存在，求所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知直線數(shù)學公式與x軸，y軸分別交于A、B兩點，直線BC與x軸交于點C，且AB=BC．
（1）求出點A、B、C的坐標．
（2）求△ABC的面積．
（3）試確定直線BC的解析式．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知直線數(shù)學公式與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C在反比例函數(shù)數(shù)學公式上，△ABC是等腰直角三角形，且∠CBA=90°．
（1）求k的值；
（2）把等腰Rt△ABC沿AC翻折，點B落在點D處，點D在反比例函數(shù)數(shù)學公式的圖象上嗎？請計算說明．

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科目：初中數(shù)學 來源：2013年初中畢業(yè)升學考試（湖北咸寧卷）數(shù)學（解析版） 題型：解答題

如圖，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將△AOB繞點O順時針旋轉90°后得到△COD．

（1）點C的坐標是　    　，線段AD的長等于　    　；

（2）點M在CD上，且CM=OM，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點G，M，求拋物線的解析式；

（3）如果點E在y軸上，且位于點C的下方，點F在直線AC上，那么在（2）中的拋物線上是否存在點P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出該菱形的周長l；若不存在，請說明理由．

 

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