Question

【題目】如圖，直線y=﹣ x+4與x軸、y軸分別交于點A、B，點C從點B出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度向點A勻速運動；同時點D從點O出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度向點B勻速運動，到達終點后運動立即停止．連接CD，取CD的中點E，過點E作EF⊥CD，與折線DO﹣OA﹣AC交于點F，設運動時間為t秒．

（1）點C的坐標為（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）求證：點E到x軸的距離為定值；
（3）連接DF、CF，當△CDF是以CD為斜邊的等腰直角三角形時，求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）（3t，4﹣4t）
（2）

解：證明：∵點D從點O出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度向點B勻速運動，

∴OD=4t，

∴D（0，4t）．

∵點E為線段CD的中點，

∴E（ ， ），既（ ，2），

∴點E到x軸的距離為定值

（3）

解：按點F的位置不同來考慮．

①當點F在AC上時，如圖2所示．

∵DF⊥AB，∠AOB=90°，

∴△BDF∽△BAO，

∴ ，

∴DF=CF= （1﹣t），BF= （1﹣t）．

∵BF=BC+CF，

∴ （1﹣t）=5t+ （1﹣t），

∴t= ．

此時DF= ×（1﹣ ）= ，CD= DF= ；

②當點F在OA上時，如圖3所示，顯然不存在；

③當點F在OD上時，如圖4所示．

∵C（3t，4﹣4t），D（0，4t），∠CFD=90°，

∴F（0，4﹣4t），

∴DF=4t﹣（4﹣4t）=8t﹣4，CF=3t．

∵△CDF為等腰直角三角形，

∴DF=CF，即8t﹣4=3t，

解得：t= ．

此時CF=3× = ，CD= CF= ．

綜上可知：當△CDF是以CD為斜邊的等腰直角三角形時，CD的長為 或 ．

【解析】解：（1）過點C作CM⊥x軸于點M，如圖1所示．
當x=0時，y=4，
∴B（0，4），OB=4；
當y=0時，x=3，
∴A（3，0），OA=3．
∴AB= =5．
∵CM⊥x軸，BO⊥x軸，
∴ ，
∴ ，
∵BC=5t，AB=5，OA=3，
∴OM= BC=3t．
當x=3t時，y=4﹣4t，
∴C（3t，4﹣4t）．
所以答案是：（3t，4﹣4t）．

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單,經(jīng)過原點一直線；兩個系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠．