Question

17．如圖1所示，已知正方形BCD的邊長為1，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，EF⊥EC，且EF=EC，連接AF．
（1）求∠EAF的度數(shù)；
（2）如圖2所示，連接CF交BD于M，求證：M為CF的中點(diǎn)；
（3）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，式子AF+2DM的值是否會(huì)改變．若不變，請求出其值；若改變，請簡述理由．

Answer 1

分析 （1）截取BG=BE，判斷AE=GC，再判斷出∠AEF=∠GCE，從而得到△AEF≌△GCE，即可；
（2）同（1）的方法得到△DMA≌△DMC判斷出∠MFA=∠MAF，即MF=MA；
（3）先判斷出四邊形ABDH是平行四邊形，再得出DM是△CFH的中位線，最后用勾股定理即可．

解答 解：（1）如圖1，

在BC上截取BG=BE，連接EG，
∵BG=BE，∠EBG=90°，
∴∠BGE=45°，∠CGE=135°，
∵AB=BC，BG=BE，
∴AE=GC，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠GCE+∠BEC=90°，
∴∠AEF=∠GCE，
在△AEF和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=GC}\\{∠AEF=∠GCE}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△GCE，
∴∠EAF=∠CGE=135°，
（2）如圖2，

連接AM，AC
同（1）的方法，得，△DMA≌△DMC，
∴MA=MC，
∴∠MAC=∠MCA，
∵∠FAC=∠FAE-∠CAB=90°，
∴∠MFA+∠MCA=90°，
∵∠MAF+∠MAC=90°，
∴∠MFA=∠MAF，
∴MF=MA，
∴MF=MA=MC，
∴M是CF的中點(diǎn)；
（3）如圖3，

延長AF，CD交于H，
由（1）得，∠EAF=135°，
∴∠FAD=135°-90°=45°，
∵∠ADB=45°，
∴AH∥BD，
∵AB∥HD，
∴四邊形ABDH是平行四邊形，
∴DH=AB=CD，
∴D是CH中點(diǎn)，
∵M(jìn)是CF中點(diǎn)，
∴DM是△CFH的中位線，
∴FH=2DM
在等腰Rt△HAD中，AH=$\sqrt{2}$AD，
∴AF+2DM=AF+FH=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形．