Question

10．在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=kx²-2kx-3k與x軸交于點B、C（點B在點C的左側），與y軸正半軸交于點A，滿足：AO=$\frac{3}{4}$BC．
（1）如圖1，求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點E為第一象限內拋物線上的一動點，連接BE交y軸于點D，當點E的橫坐標等于線段OD的2倍時，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，如圖3，過點B作BF⊥BE，點P在拋物線上，連接EP交BF于點F，過點B作BG⊥EF于點H，交直線AE于點G，當∠BGE=90°-$\frac{1}{2}$∠BGF時，求線段EP的長．

Answer 1

分析 （1）令y=0，求出拋物線與x軸的交點坐標，即得線段BC的長度，根據AO=$\frac{3}{4}$BC，可得點A的坐標；
（2）作EI⊥x軸于I，易得△BOD∽△BIE，可得$\frac{BO}{BI}$=$\frac{DO}{EI}$，即可求出點E的坐標；
（3）延長GF交x軸于M，作GN⊥x軸于N，與BF交于點K，連接EK，延長BF交直線EA于L，作BW⊥EA于W，證明△GBM為等腰三角形，從而證得△BWE為等腰直角三角形，且△BEL為直角三角形，易得△NBK為等腰三角形，根據勾股定理，求出點G的坐標，求出BG，EF的坐標，根據直線EF和拋物線相交于點P，即可求出點P，根據兩點求線段的公式，即可求出線段EP的長．

解答 解：（1）當y=0時，kx²-2kx-3k=0，解得x₁=-1，x₂=3，則B（-1，0），C（3，0），
∴BC=3-1（-1）=4，
∴AO=$\frac{3}{4}$BC=3，則A（0，3），
把A（0，3）代入y=kx²-2kx-3k得-3k=3，解得k=-1，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
（2）作EI⊥x軸于I，如圖2，
設E（t，-t²+2t+3）（t＞0），則OI=t，OD=$\frac{1}{2}$t，
∵OD∥EI，
∴△BOD∽△BIE，
∴$\frac{BO}{BI}$=$\frac{DO}{EI}$，即$\frac{1}{t+1}$=$\frac{\frac{1}{2}t}{-{t}^{2}+2t+3}$，
整理得t²-t-2=0，解得t₁=-1（舍去），t₂=2，
∴E點坐標為（2，3）；
（3）如圖3，延長GF交x軸于M，作GN⊥x軸于N，與BF交于點K，連接EK，延長BF交直線EA于L，作BW⊥EA于W，
∵A（0，3），E（2，3），
∴AE∥x軸，
∴GE⊥GN，
∴∠2=90°-∠3，
∵BH⊥EF，
∴∠GHE=90°，
∴∠2=90°-∠1，
∴∠1=∠3，
∵∠2=90°-$\frac{1}{2}$∠BGF，
∴∠3=$\frac{1}{2}$∠BGM，
∴∠3=∠4，
，∵GN⊥BM，
∴△GBM為等腰三角形，
∴BN=MN，
∵BW=EW=3，
∴△BWE為等腰直角三角形，
∴△BEL為直角三角形，
∠DBO=45°，
∵BF⊥BE，
∴∠NBK=45°，
∴△NBK為等腰三角形，
設BN=m，則KN=m，BK=$\sqrt{2}$m，
在Rt△GKE中，KE²=GK²+GE²=（3-m）²+4²，
在Rt△BKE中，KE²=BK²+BE²=（$\sqrt{2}$m）²+（3$\sqrt{2}$）²，
解得：x₁=1，x₂=-7（不合題意，舍去），
∴點G（-2，3）．
設直線BG的解析式為：y=kx+b，點B（-1，0），G（-2，3）在直線BG上，
則$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{-2k+b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BG：y=-3x-3，
∵直線EF⊥BG，
∴設直線FE的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x+b₁，點E（2，3）在直線FE上，
∴$\frac{1}{3}×2+_{1}=3$，解得：b₁=$\frac{7}{3}$，
∴直線EF：y=$\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}$，
聯(lián)立方程組，得$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{1}{3}}\\{{y}_{1}=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$（舍去），
∴點P（$-\frac{1}{3}$，$\frac{20}{9}$），
∴PE=$\sqrt{（-\frac{1}{3}-2）^{2}+（\frac{20}{9}-3）^{2}}=\frac{7\sqrt{10}}{9}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，第三小題，根據題意畫出圖形，添加合適的輔助線是解決此題的基礎，能夠靈活運用等腰三角形、直角三角形，待定系數(shù)法，交點坐標公式等知識是解決此題的關鍵．