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13.如圖所示,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn).點(diǎn)D從C出發(fā),沿線段CO以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)D作OC的垂線交BC于點(diǎn)E,作EF∥OC,交拋物線于點(diǎn)F.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)小明在探究點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn),①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí),EF長(zhǎng)度可看作O;②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí),EF長(zhǎng)度也可以看作O,于是他猜想:設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到OC中點(diǎn)位置時(shí),當(dāng)線段EF最長(zhǎng),你認(rèn)為他猜想是否正確,為什么?
(3)連接CF、DF,請(qǐng)直接寫出△CDF為等腰三角形時(shí)所有t的值.

分析 (1)由于已知拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo),則設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+1)(x-3),然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線解析式;
(2)先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,再設(shè)E(t,-t+3),接著表示出D(0,-t+3),F(xiàn)(t,-t2+2t+3),然后用t表示出EF的長(zhǎng),再利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定EF最大時(shí)的t的值,從而判斷點(diǎn)D是否為OC的中點(diǎn);
(3)先由C(0,3),D(0,-t+3),F(xiàn)(t,-t2+2t+3)和利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出CD2,CF2,DF2,然后分類討論:當(dāng)CD=CF或FC=FD或DC=DF時(shí)得到關(guān)于t的方程,接著分別解關(guān)于t的方程即可.

解答 解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3),
把C(0,3)代入得a•1•(-3)=3,解得a=-1,
所以拋物線解析式為y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3;
(2)他猜想正確.理由如下:
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,
把C(0,3),B(3,0)代入得{n=33m+n=0,解得{m=1n=3,則直線BC的解析式為y=-x+3,
設(shè)E(t,-t+3),則D(0,-t+3),F(xiàn)(t,-t2+2t+3),
所以EF=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t=-(t-322+94
當(dāng)t=32時(shí),EF最大,最大值為94,
此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,32),
所以點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)時(shí),線段EF最長(zhǎng);
(3)∵C(0,3),D(0,-t+3),F(xiàn)(t,-t2+2t+3),
∴CD2=(-t+3-3)2=t2,CF2=t2+(-t2+2t+3-3)2=t2+(-t2+2t)2,DF2=t2+(-t2+2t+3+t-3)2=t2+(-t2+3t)2,
當(dāng)CD=CF時(shí),即t2=t2+(-t2+2t)2,解得t1=0,t2=2;
當(dāng)FC=FD,即t2+(-t2+2t)2=t2+(-t2+3t)2,解得t1=0,t2=52;
當(dāng)DC=DF時(shí),即t2=t2+(-t2+3t)2,解得t1=0,t2=3;
綜上所述,當(dāng)t=2或52或3時(shí),△CDF為等腰三角形.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題:熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì);會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式;會(huì)利用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題;理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),記住兩點(diǎn)間的距離公式.

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