Question

2．如圖1，△ABC的邊BC的中垂線DM交∠BAC的平分線AD于D，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于F．連接DB、DC．
（1）求證：△DBE≌△DFC．
（2）求證：AB+AC=2AE；
（3）如圖2，若△ABC的邊BC的中垂線DM交∠BAC的外角平分線AD于D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且AB＞AC，寫出AE、BE、AC之間的等量關(guān)系．（不需證明，只需在圖2中作出輔助線、說(shuō)明證哪兩個(gè)三角形全等即可）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DB=DC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，由全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=AF，BE=CF，等量代換即可得到結(jié)論；
（3）如圖2，過(guò)D作DN⊥AC，垂足為N，連接DB、DC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到DN=DE，DB=DC，推出Rt△DBE≌Rt△DCN（HL），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=CN，由于Rt△DEA≌Rt△DNA（HL），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AN=AE，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵DM垂直平分BC，
∴DB=DC，
∵∠1=∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△DEB與Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC；

（2）∵∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE≌Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
又∵Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴BE=CF，
∴AB+AC=AE+BE+AF-CF=2AE；

（3）BE=AE+AC．
證明：如圖2，過(guò)D作DN⊥AC，垂足為N，連接DB、DC，
則DN=DE，DB=DC，
又∵DE⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DEB=∠DNC=90°，
在Rt△DBE和Rt△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DF=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△DBE≌Rt△DCN（HL）
∴BE=CN，
在Rt△DEA和Rt△DNA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEA≌Rt△DNA（HL），
∴AN=AE，
∴BE=AC+AN=AC+AE，
即BE=AE+AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，線段的垂直平分線定理，角平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，會(huì)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，會(huì)利用中垂線的性質(zhì)找出全等的條件是解此題的關(guān)鍵．