Question

如圖，銳角△ABC中，AD，BE，CF是三條高，DM⊥BE于M，DN⊥CF于N
求證，△DMN∽△ABC．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定

專題：證明題

分析：根據(jù)題意易得DM∥AC，DN∥AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BDM=∠ACB，∠CDN=∠ABC，則利用平角和三角形內(nèi)角和定理可得∠MDN=∠BAC，然后證明Rt△BDM∽R(shí)t△ACD，Rt△CDN∽R(shí)t△ABD，得到

DM

CD

=

BD

AC

①，

CD

AB

=

DN

BD

②，通過①×②得

DM

AB

=

DN

AC

，于是可根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得到△DMN∽△ABC．

解答：證明：∵BE，CF是高，DM⊥BE于M，DN⊥CF于N，
∴DM∥AC，DN∥AB，
∴∠BDM=∠ACB，∠CDN=∠ABC，
∴∠MDN=∠BAC，
∴Rt△BDM∽R(shí)t△ACD，Rt△CDN∽R(shí)t△ABD，
∴

DM

CD

=

BD

AC

①，

CD

AB

=

DN

BD

②，
①×②得

DM

AB

=

DN

AC

，
而∠MDN=∠BAC，
∴△DMN∽△ABC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．