Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D在BC所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作∠ADE=45°（A，D，E按逆時(shí)針?lè)较颍�．若點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，DE交AC于E．
①求證：△ABD∽△DCE；
②當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 ①由∠ADB+∠BAD=135°，∠ADB+∠CDE=135°，得出∠BAD=∠CDE，推出△ABD∽△DCE；
②分三種情況討論，（1）當(dāng)AD=AE時(shí)，∠ADE=∠AED=45°時(shí)，得到∠DAE=90°，點(diǎn)D、E分別與B、C重合；（2）當(dāng)AD=DE時(shí)，由①知△ABD∽△DCE；（3）當(dāng)AE=DE時(shí)，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，得到∠ADC=∠AED=90°，于是得到DE=AE=$\frac{1}{2}$AC=1．

解答 ①證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠BAD+∠ADB=135°，
∵∠ADE=45°，
∴∠ADB+∠EDC=135°，
∴∠BAD=∠EDC，
∴△ABD∽△DCE；

②分三種情況：
（1）當(dāng)AD=AE時(shí)，∠ADE=∠AED=45°時(shí)，
∴∠DAE=90°，點(diǎn)D、E分別與B、C重合，
∴AE=AC=2；
（2）當(dāng)AD=DE時(shí)，由①知△ABD∽△DCE，
∵AD=DE，△ABD≌△DCE，
∴AB=CD=2，
∴BD=CE=$2\sqrt{2}-2$，
∴AE=AC-CE=4-$2\sqrt{2}$；
（3）當(dāng)AE=DE時(shí)，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
∴∠ADC=∠AED=90°，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$AC=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的轉(zhuǎn)化．分情況討論等腰三角形的可能性是解題的關(guān)鍵．