Question

2．將兩塊等腰直角三角板△ABD，△ACE如圖擺放，0°＜∠BAC＜180°，連接BC，DE，AF是△ABC的中線．求證：
（1）∠DAE+∠BAC=180°；
（2）∠1=∠2．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)周角的定義即可得到結(jié)論；
（2）延長AF到G，使FG=AF，通過△ACF≌△BGF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BG=AC，∠G=∠1，∠FBG=∠ACF，求得∠ABG=∠DAE，推出△ABG≌△ADE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠DAE+∠BAC=360°-∠DAB-∠CAE=180°；

（2）延長AF到G，使FG=AF，
∵AF是△ABC的中線，
∴BF=CF，
在△ACF與△BFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=FG}\\{∠AFC=∠BFG}\\{CF=BF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BGF，
∴BG=AC，∠G=∠1，∠FBG=∠ACF，
∴∠ABG=180°-∠BAC，
∵∠DAE=180°-∠BAC，
∴∠ABG=∠DAE，
∵AE=AC，
∴AE=BG，
在△ABG與△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠DAE}\\{BG=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADE，
∴∠G=∠2，
∴∠1=∠2．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．