Question

6．如圖，已知△ABC，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在邊AC上，點(diǎn)F在邊AB上，且DE∥D₁E₁，EF∥E₁F₁，DF∥D₁F₁．求證：S_△DEF•S_△D1E1F1=S²_△ABC．

Answer 1

分析 根據(jù)平行線的性質(zhì)和位似變換的概念得到△DEF與△D₁E₁F₁是位似圖形，設(shè)△DEF與△D₁E₁F₁的相似比為$\frac{1}{k}$，△DEF的面積為1，表示出△D₁E₁F₁面積，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比得到$\frac{OS}{OS+BT}$=$\frac{DF}{{D}_{1}{F}_{1}}$=$\frac{1}{k}$，結(jié)合圖形解答即可．

解答 證明：∵DE∥D₁E₁，EF∥E₁F₁，DF∥D₁F₁，
∴△DEF與△D₁E₁F₁是位似圖形，即△DEF∽△D₁E₁F₁，
∴E₁E、F₁F、D₁D的延長線相交于點(diǎn)O，
作OS⊥DF于S，BT⊥DF于T，
設(shè)△DEF與△D₁E₁F₁的相似比為$\frac{1}{k}$，△DEF的面積為1，
則△D₁E₁F₁的面積為k²，
∴S_△DEF•S_△D1E₁F₁=k²，
∵DF∥D₁F₁，
∴△OFD∽△OF₁D₁，
∴$\frac{OS}{OS+BT}$=$\frac{DF}{{D}_{1}{F}_{1}}$=$\frac{1}{k}$，
∴$\frac{{S}_{△OFD}}{{S}_{四邊形OFBD}}$=$\frac{1}{k}$，
同理，$\frac{{S}_{△ODE}}{{S}_{四邊形ODCE}}$=$\frac{1}{k}$，$\frac{{S}_{△OEF}}{{S}_{四邊形OEAF}}$=$\frac{1}{k}$，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{k}$，
∴S_△ABC=k，
∴S_△DEF•S_△D1E1F1=S²_△ABC．

點(diǎn)評 本題考查的是三角形的面積及等積變換，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．