Question

9．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D為半圓O上的兩點(diǎn)，CD∥AB，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，tanA=$\sqrt{3}$．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）猜想四邊形AOCD是什么特殊的四邊形，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由銳角三角函數(shù)得出∠A=60°，證出△OAD是等邊三角形，得出∠ADO=∠AOD=60°，再證明△COD是等邊三角形，得出∠COD=60°=∠ADO，證出OC∥AE，由已知條件得出CE⊥OC，即可得出結(jié)論；
（2）由（1）得：△OAD和△COD是等邊三角形，得出OA=AD=OD=CD=OC，即可證出四邊形AOCD是菱形．

解答 （1）證明：連接OD，如圖所示：
∵tanA=$\sqrt{3}$，
∴∠A=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等邊三角形，
∴∠ADO=∠AOD=60°，
∵CD∥AB，
∴∠ODC=60°，
∵OC=OD，
∴△COD是等邊三角形，
∴∠COD=60°=∠ADO，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AE，
∴CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切線；
（2）解：四邊形AOCD是菱形；理由如下：
由（1）得：△OAD和△COD是等邊三角形，
∴OA=AD=OD=CD=OC，
∴四邊形AOCD是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、菱形的判定；熟練掌握切線的判定方法，證明三角形是等邊三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．