Question

（2009•黔南州）如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（0，1），矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上，D、E在x軸上，CF交y軸于點(diǎn)B，且其面積為8，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖2，若P點(diǎn)為拋物線上不同于A的一點(diǎn)，連結(jié)PB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為S、R．
①求證：PB=PS；
②試探索在線段SR上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)P、S、M為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)Q、R、M為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)找出M點(diǎn)的位置；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）方法一：根據(jù)點(diǎn)F的坐標(biāo)求出EF的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形的面積求出CF的長(zhǎng)，然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
方法二：設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式形式為y=ax²+c，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）①過(guò)點(diǎn)B作BN⊥PS于N，根據(jù)點(diǎn)P在拋物線上設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，

1

4

a²+1），然后表示出PS、OB、BN，再根據(jù)圖形求出PN=PS-NS，在Rt△PNB中，利用勾股定理列式表示出PB²，然后求出PB，從而得證；
②方法一：設(shè)PS=b，QB=c，利用勾股定理列式求出SR=2

bc

，假設(shè)存在點(diǎn)M，且MS=x，表示出MR=2

bc

-x，然后分△PSM和△MRQ相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)；△PSM和△QRM相似時(shí)，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解得到x=

2b bc

b+c

，然后求出

MR

MS

=

QB

BP

=

RO

OS

，從而得到點(diǎn)M與原點(diǎn)O重合；
方法二：根據(jù)∠PSM=∠MRQ=90°，分△PSM和△MRQ相似時(shí)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM，再根直角三角形的性質(zhì)求出∠PMQ=90°，取PQ的中點(diǎn)為N，連接MN，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半表示出MN=

1

2

PQ=

1

2

（QR+PS），從而判定MN為梯形SRQP的中位線，得到點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)；△PSM和△QRM相似時(shí)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得

RM

MS

=

QR

PS

=

QB

BP

，再根據(jù)

QB

BP

=

RO

OS

，可得點(diǎn)M與原點(diǎn)O重合．

解答：解：（1）方法一：∵F點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），
∴EF=2，
∵矩形CDEF的面積為8，
∴CF=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，2），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，其過(guò)三點(diǎn)A（0，1），C（-2，2），F(xiàn)（2，2），
所以，

c=1 4a-2b+c=2 4a+2b+c=2

，
解得

a= 1 4 b=0 c=1

，
所以，此函數(shù)解析式為y=

1

4

x²+1；

方法二：設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+c，其過(guò)點(diǎn)A（0，1）和F（2，2），
所以，

c=1 4a+c=2

，
解得

a= 1 4 c=1

，
所以，此函數(shù)解析式為y=

1

4

x²+1；

（2）①過(guò)點(diǎn)B作BN⊥PS于N，
∵P點(diǎn)在拋物線y=

1

4

x²+1上，可設(shè)點(diǎn)P（a，

1

4

a²+1），
∴PS=

1

4

a²+1，OB=NS=2，BN=|a|，
∴PN=PS-NS=

1

4

a²+1-2=

1

4

a²-1，
在Rt△PNS中，PB²=PN²+BN²=（

1

4

a²-1）²+（|a|）²=（

1

4

a²+1）²，
∴PB=

1

4

a²+1，
∵PS=

1

4

a²+1，
∴PB=PS；

②方法一：設(shè)PS=b，QR=c，
由①知，PS=PB=b，QR=QB=c，PQ=b+c，
∴SR²=（b+c）²+（b-c）²，
∴SR=2

bc

，
假設(shè)存在點(diǎn)M，且MS=x，則MR=2

bc

-x，
若使△PSM∽△MRQ，則有

b

x

=

2 bc -x

c

，
即x²-2

bc

x+bc=0，
解得x₁=x₂=

bc

，
∴SR=2

bc

，
∴點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)；
若使△PSM∽△QRM，則有

b

x

=

c

2 bc -x

，
∴x=

2b bc

b+c

，
∴

MR

MS

=

2 bc -x

x

=

2 bc

2b bc b+c

-1=

c

b

=

QB

BP

=

RO

OS

，
∴M點(diǎn)為原點(diǎn)O；
綜上所述，點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)時(shí)，△PSM∽△MRQ；點(diǎn)M為原點(diǎn)時(shí)△PSM∽△QRM；

方法二：若以P、S、R為頂點(diǎn)的三角形與以Q、M、R為頂點(diǎn)的三角形相似，
∵∠PSM=∠MRQ=90°，
∴分△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM兩種情況，
△PSM∽△MRQ時(shí)，∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM，
根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，∠PMS+∠SMR=90°，
∴∠PMQ=90°，
取PQ的中點(diǎn)N，連接MN，則MN=

1

2

PQ=

1

2

（QR+PS），
∴MN為梯形SRQP的中位線，
∴M為SR的中點(diǎn)；
△PSM∽△QRM時(shí)，

RM

MS

=

QR

PS

=

QB

BP

，
又∵

QB

BP

=

RO

OS

，
∴點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，
綜上所述，點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)時(shí)，△PSM∽△MRQ；點(diǎn)M為原點(diǎn)時(shí)△PSM∽△QRM．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理的應(yīng)用，以及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，求點(diǎn)M的位置時(shí)要注意根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的不同分情況進(jìn)行討論．