Question

（2012•昌平區(qū)一模）已知關(guān)于x的方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0．
（1）討論此方程根的情況；
（2）若方程有兩個(gè)整數(shù)根，求正整數(shù)k的值；
（3）若拋物線(xiàn)y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為3，求k的值．

Answer 1

分析：（1）分別討論k=-1和k≠-1的情況，即可判斷出方程根的情況；
（2）首先根據(jù)因式分解求出方程的兩個(gè)根，然后根據(jù)方程的根是整數(shù)根，求出k的值即可；
（3）根據(jù)拋物線(xiàn)y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為3，分別討論x₁-x₂=3或x₂-x₁=3兩種情況，求出k的值即可．

解答：解：（1）當(dāng)k=-1時(shí)，方程-4x-4=0為一元一次方程，此方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)k≠-1時(shí)，方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0是一元二次方程，
△=（3k-1）²-4（k+1）（2k-2）=（k-3）²．
∵（k-3）²≥0，即△≥0，
∴k為除-1外的任意實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．  
綜上，無(wú)論k取任意實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根．

（2）x=

1-3k±(k-3)

2(k+1)

，x₁=-1，x₂=

4

k+1

-2．
∵方程的兩個(gè)根是整數(shù)根，且k為正整數(shù)，
∴只存在兩種情況：①當(dāng)k=1時(shí)，方程的兩根為-1，0；
②當(dāng)k=3時(shí)，方程的兩根為-1，-1．
∴正整數(shù)k的值是1或3．        

（3）∵拋物線(xiàn)y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為3，
∴x₁-x₂=3，或x₂-x₁=3．
當(dāng)x₁-x₂=3時(shí)，k=-3；
當(dāng)x₂-x₁=3時(shí)，k=0．
綜上，k=0，-3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，此題難度不大．