Question

已知，如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的中線，DE⊥AB交BC于F，交AC的延長線于E，求證：
（1）△ADE∽△FDB；  
（2）CD²=DE•DF．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）利用∠ACE=∠EDB和∠DBF=∠CEF，即可得出△ADE∽△FDB；
（2）由△ADE∽△FDB，可得

DE

DB

=

DA

DF

，再由CD是Rt△ABC斜邊上的中線，得出DA=DB=CD，即可得出CD²=DE•DF．

解答：解：（1）∵DE⊥AB，△ABC是RT△，
∴∠ACB=∠EDB=90°，
∵∠DFB=∠CFE，
∴∠DBF=∠CEF，
∴△ADE∽△FDB；
（2）∵△ADE∽△FDB，
∴

DE

DB

=

DA

DF

∵CD是Rt△ABC斜邊上的中線，
∴DA=DB=CD，
∴

DE

CD

=

CD

DF

，
∴CD²=DE•DF．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是運用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)．