Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，等腰Rt△ABC的頂點A、C在坐標軸上運動，且∠ACB=90°，AC=BC．

(1)如圖1，當A(0，-2)，C(1，0)，點B在第四象限時，則點B的坐標為_____；

(2)如圖2，當點C在x軸正半軸上運動，點A在y軸正半軸上運動，點B在第四象限時，作BD⊥y軸于點D，試判斷與哪一個是定值，并說明定值是多少？請證明你的結論．

(3)如圖3，當點C在y軸正半軸上運動，點A在x軸正半軸上運動，使點D恰為BC的中點，連接DE，求證：∠ADC=∠BDE．

Answer 1

【答案】(3，-1)

【解析】試題分析

（1）如下圖1，過點B作BD⊥x軸于點D，結合已知條件證△OAC≌△DCB，就可求得BD和OD的長，從而可得點B的坐標；

（2）如下圖2，過點B作BE⊥x軸于點E，結合已知條件可證得△OAC≌△ECB，四邊形ODBE是矩形，這樣就可得到：CE=OA，BD=OE，所以OC-BD=OC-OE=CE，從而可得： ；

（3）如下圖3，過點B作BG⊥BC于點B，交y軸于點G，結合已知條件可證△CBG≌△ACD，從而可得：∠ADC=∠CGB，BG=CD，結合CD=BD可得BD=BG；再證∠DBE=∠GBE=45°，就可結合BE=BE，證得△DBE≌△GBE，從而可得∠BDE=∠BGE，結合∠ADC=∠CGB就可證得：∠ADC=∠BDE．

試題解析：

(1)∵點A的坐標為：(0，-2)，點C的坐標為：(1，0)，

∴OA=2，OC=1，

作BD⊥CD，

∵∠OCA+∠DCB=90°，∠OAC+∠DCB=90°，

∴∠OAC=∠DCB，

∵在△OAC和△DCB中，

∴△OAC≌△DCB，(AAS)

∴CD=OA=2，BD=OC=1，OD=3，

∴B點坐標為(3，-1)；

(2)作BE⊥OC，則四邊形ODBE為矩形，

∵∠ACO+∠BCO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠BCO=∠CAO，

∵△OAC和△ECB中，

∴△OAC≌△ECB，(AAS)

∴EC=OA，

∵四邊形ODBE為矩形，

∴OE=BD，

∵OC=OE+EC，

∴OC=AO+BD，

∴OC-BD=OA，

∴ ，即是定值，且定值為1；

(3)過點B作BG⊥BC交y軸于點G，

∴∠CBG=∠ACD=90°，

∵∠BCG+∠ACG=90°，∠ACO+∠DCO=90°，

∴∠DCO=∠CAO．

在△BCG和△CAD中，

∴△BCG≌△CAD(ASA)，

∴BG=CD=BD，∠BGE=∠ADC，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠ABC=∠BAC=45°，

又∵∠CBG=90°，

∴∠EBG=∠DBE=45°，

在△DBE和△GBE中，

∴△DBE≌△GBE(SAS)，

∴∠BDE=∠BGE，

由∵∠BGE=∠ADC，

∴∠ADC=∠BDE．