Question

如圖，菱形ABED中，BG⊥DE于G，且GE=

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2

AE，AG交BE于F，作∠AFH=60°，F(xiàn)H交DE于H點．
（1）求證：△ABE是等邊三角形；
（2）求證：HE+EF=AE．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連接BD交AE于點O，利用菱形的性質(zhì)和已知條件可證明∠DBE=30°，所以∠ABE=60°，所以△ABE為等邊三角形；
（2）首先證明△AHE≌△AFB，由全等三角形的性質(zhì)可得：HE=FB，進而可證明HE+EF=BF+EF=BE=AE．

解答：證明：（1）連接BD交AE于點O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BE，∠BOE=90°，OE=

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2

AE，
∵GE=

1

2

AE，∴OE=GE，
∵BE平分∠DBG，∠BDE=∠DBE，∠BDE=∠DBE，
∴∠DBE=30°，
∴∠ABE=60°，
∴△ABE為等邊三角形；
（2）∵∠AEH=∠AFH=∠ABF=60°，
∴A，H，E，F(xiàn)四點共圓，
∴∠HAE=∠HFE，
∵∠HFE+∠AFB=120°，∠AFB+∠FAB=120°，
∴∠HFE=∠FAB，
∴∠HAE=∠FAB，
在△AHE和△AFB中

∠HAE=∠FAB AE=AB ∠HEA=∠ABF

，
∴△AHE≌△AFB，
∴HE=FB，
∴HE+EF=BF+EF=BE=AE，

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性較強，題目的難度也不小，對學(xué)生的解題能力要求很高．