Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分線(xiàn)交AD于E，交AB于F，F(xiàn)G⊥BC于G，請(qǐng)猜測(cè)AE與FG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：AE與FG之間的數(shù)量關(guān)系是相等．

理由：∵CF平分∠ACB，F(xiàn)A⊥AC，F(xiàn)G⊥BC

∴FG=FA

∵∠AFC+∠ACF=90°，∠DEC+∠ECD=90°，且∠ACF=∠ECD

∴∠AFC=∠DEC

∵∠AEF=∠DEC

∴∠AFC=∠AEF

∴AE=FA

∴AE=FG

【解析】根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩邊的距離相等可得：FG=FA；則只要在確定FA與AE的關(guān)系即可確定AE與FG之間的關(guān)系；在直角三角形AFC中∠AFC+∠ACF=90°，在直角三角形CDE中，∠DEC+∠ECD=90°，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可知：∠ACF=∠DCE，則∠AFC=∠DEC，又知∠AEF=∠DEC，則∠AFC=∠AEF，所以AE=FA，則AE=FG．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握定理1：在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上才能正確解答此題．