Question

如圖①，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=9，∠C=60°．
（1）求AD的長；
（2）若動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向終點(diǎn)D運(yùn)動（如圖②），在P點(diǎn)運(yùn)動的過程中，△ABP的面積改變了嗎？若改變，請說明理由；若沒有改變，那么△ABP的面積為

 

；
（3）在（2）的條件下，過B作BH⊥AP于H（如圖③），若BH=2

2

，則AP=

 

；
（4）在（2）的條件下，若動點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向終點(diǎn)A運(yùn)動，其中一個(gè)動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，過點(diǎn)Q作QM∥CD交BC于M（如圖④），探究：四邊形PDQM可能為菱形嗎？若可能，請求出BM的長；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)A作AE∥BC，可以得出ABCE是平行四邊形，即得出AE=BC，繼而得出△AED是正三角形，有AB=4，CD=9，可以得出答案．
（2）過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，作圖可以得出∠2=30°，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理可以分別求出ED和AE的數(shù)值，有AB的值，根據(jù)面積公式求解即可．
（3）△ABP的面積有兩種表示方法，根據(jù)（2）中求得的面積，又知道BH的長度，即可得出AP的值．
（4）作出圖形，由MQ∥PD，得出當(dāng)MQ=PD時(shí)，四邊形PDQM是平行四邊形，當(dāng)QD=PD時(shí)，四邊形PDQM是菱形，進(jìn)而得出∠1=∠C=60°，即△CMP和△DPQ均為正三角形，可以求得CM=CP=4.5，過點(diǎn)B作BE∥AD交CD于點(diǎn)E，則四邊形ABED是平行四邊形，得出△BCE是正三角形，進(jìn)而得出當(dāng)MQ=PD=QD時(shí)，四邊形PDQM是菱形，此時(shí)BM的長為0.5．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AE∥BC交CD于點(diǎn)E，則四邊形ABCE是平行四邊形，
∴AE=BC，
∵等腰梯形ABCD中，AD=BC，
∴AE=AD，
∵∠1=∠C=60°，
∴△AED是正三角形，
∴AD=DE，
∵CE=AB=4，CD=9，
∴ED=DC-DE=5，
∴AD=5．


（2）△ABP的面積不變，理由：過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，
由（1）得正△ADE中∠D=60°，
∴∠2=90°-∠D=30°，
∴ED=

1

2

AD=

5

2

，
∴AE=

AD2-DE2

=

5

2

3

．
∴S△ABP=

1

2

AB•AE=5

3

．
故△ABP的面積為5

3

．

（3）由（2）得S△ABP=5

3

，而BH⊥AP，
∴

1

2

AP•BH=5

3

．
∵BH=2

2

，
∴AP=

5

2

6

．

（4）當(dāng)MQ=PD=QD時(shí)，四邊形PDQM是菱形，此時(shí)BM的長為0.5．
理由：∵M(jìn)Q∥PD，
∴當(dāng)MQ=PD時(shí)，四邊形PDQM是平行四邊形，
∴當(dāng)QD=PD時(shí)，四邊形PDQM是菱形，
∴MP∥=QD，
∴∠1=∠D．
∵等腰梯形中，∠D=∠C=60°，
∴∠1=∠C=60°，
∴△CMP和△DPQ均為正三角形，且邊長相等．
∴CP=PD=

1

2

CD=4.5，
∴CM=CP=4.5．
過點(diǎn)B作BE∥AD交CD于點(diǎn)E，則四邊形ABED是平行四邊形，
∴BE=AD．
∵BC=AD，
∴BC=BE，
∴△BCE是正三角形，
∴BC=CE，
∵ED=AB=4，CD=9，
∴BC=CE=CD-AB=5，
∴BM=BC-CM=0.5．

點(diǎn)評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，要能夠清楚地弄懂題意，合理的作出輔助線是做題的關(guān)鍵．