Question

（2004•蘇州）如圖，⊙O₂與⊙O₁的弦BC切于C點(diǎn)，兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D，動(dòng)點(diǎn)A在⊙O₁上，直線(xiàn)AD與⊙O₂交于點(diǎn)E，與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)F．
（1）如圖①，當(dāng)A在弧CD上時(shí)，求證：①△FDC∽△FCE；②A(yíng)B∥EC；
（2）如圖②，當(dāng)A在弧BD上時(shí)，是否仍有AB∥EC？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）①在△FDC與△FCE中，由弦切角定理得：∠D=∠FCE，已知公共角∠F，由此可判定兩三角形相似，②根據(jù)平行線(xiàn)的判定，只需證明∠FCE=∠B；①中證得∠D=∠FCE，而⊙O₁中，根據(jù)圓周角定理，可得∠D=∠B，將等角代換可得出∠B=∠FCE，由此得證；
（2）根據(jù)平行線(xiàn)的判定，只需證明∠FCE=∠FBA，思路同（1）②，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得∠FBA=∠FDC；由弦切角定理，得∠FCE=∠FDC，將等角代換后可證得所求的結(jié)論．
解答：（1）證明：
①∵BC為⊙O₂的切線(xiàn)
∴∠D=∠FCE
又∠F=∠F
∴△FDC∽△FCE，
②在⊙O₁中，∠B=∠D
又∠FCE=∠B
∴AB∥EC；

（2）解：仍有AB∥EC．
證明：∵四邊形ABCD是⊙O₁的內(nèi)接四邊形
∴∠FBA=∠FDC
∵BC為⊙O₂的切線(xiàn)
∴∠FCE=∠FDC
∴∠FCE=∠FBA
∴AB∥EC．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查弦切角定理，相似三角形的判定及平行線(xiàn)的判定，難度適中．