Question

已知：m、n是方程x²－6x+5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m＜n，拋物線y＝－x²+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(m，0)、B(0，n).

（1）求這個(gè)拋物線的解析式；

（2）設(shè)（1）中拋物線與軸的另一交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D，試求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和△BCD的面積

（3）P是線段OC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸，與拋物線交于H點(diǎn)，若直線BC把△PCH分成面積之比為2∶3的兩部分，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

（1）解方程x²－6x+5＝0得x₁＝5，x₂＝1，由m＜n，有m＝1，n＝5，所以點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（0，5）.將A（1，0），B（0，5）的坐標(biāo)分別代入y＝－x²+bx+c.得解這個(gè)方程組，得所以，拋物線的解析式為y＝－x²－4x+5.

（2）由y＝－x²－4x+5，令y＝0，得－x²－4x+5＝0.解這個(gè)方程，得x₁＝－5，x₂＝1，所以C點(diǎn)的坐標(biāo)為（－5，0）.由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算，得點(diǎn)D（－2，9）.過D作x軸的垂線交x軸于M.則S_△DMC＝×9×(5－2)＝，S_梯形MDBO＝×2×(9+5)＝14，S_△BOC＝×5×5＝，所以S_△BCD＝S_梯形MDBO+ S_△DMC－S_△BOC＝14+－＝15.

（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0）因?yàn)榫�段BC過B、C兩點(diǎn)，所以BC所在的直線方程為y＝x+5.那么，PH與直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)為E(a，a+5)，PH與拋物線y＝－x²－4x+5的交點(diǎn)坐標(biāo)為H(a，－a²－4a+5).由題意，得①EH＝EP，即(－a²－4a+5)－(a+5)＝(a+5). 解這個(gè)方程，得a＝－或a＝－5（舍去）；②EH＝EP，即(－a²－4a+5)－(a+5)＝(a+5). 解這個(gè)方程，得a＝－或a＝－5（舍去）；即P點(diǎn)的坐標(biāo)為 (－，0)或 (－，0).