Question

如圖，已知拋物線與x軸的交點(diǎn)為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C.

（1）直接寫出A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M，使得MD+MC的值最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱的對稱點(diǎn)為B，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

 

 

Answer 1

（1）A(4，0) 、D(－2，0)、C(0，－3)；（2）連接AC，則AC與拋物線的對稱軸交點(diǎn)M即為所求，M (1，)；（3）存在，(－2，0)或(6，6).

【解析】

試題分析：（1）在中令，解得，

∴A(4，0) 、D(－2，0).

在中令，得，∴C(0，－3).

（2）連接AC，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，AC與拋物線的對稱軸交點(diǎn)M即為所求，從而應(yīng)用待定系數(shù)法求出AC的解析式，再求出拋物線的對稱軸，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo).

（3）分BC為梯形的底邊和BC為梯形的腰兩種情況討論即可.

試題解析：（1）A(4，0) 、D(－2，0)、C(0，－3)

（2）如圖，連接AC，則AC與拋物線的對稱軸交點(diǎn)M即為所求.

設(shè)直線AC的解析式為，則，解得.

∴直線AC的解析式為.

∵的對稱軸是直線，

把x=1代入得

`∴M(1，).

（3）存在，分兩種情況：

①如圖，當(dāng)BC為梯形的底邊時，點(diǎn)P與D重合時，四邊形ADCB是梯形，此時點(diǎn)P為(－2，0).

②如圖，當(dāng)BC為梯形的腰時，過點(diǎn)C作CP//AB，與拋物線交于點(diǎn)P，

∵點(diǎn)C，B關(guān)于拋物線對稱，∴B(2，－3)

設(shè)直線AB的解析式為，則，解得.

∴直線AB的解析式為.

∵CP//AB，∴可設(shè)直線CP的解析式為.

∵點(diǎn)C在直線CP上，∴.

∴直線CP的解析式為.

聯(lián)立，解得，

∴P(6，6).

綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，0)或(6，6).

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.待定系數(shù)法的應(yīng)用；3.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4. 軸對稱的應(yīng)用（最短線路問題）；5.二次函數(shù)的性質(zhì)；6.梯形存在性問題；7.分類思想的應(yīng)用.