Question

如圖，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90°，O是AB的中點，⊙O與AC相切于點D，與BC相切于點E，設(shè)⊙O交OB于F，連DF并延長交CB的延長線于G．
（1）求∠ADG的度數(shù)；
（2）求由DG、GE和

ED

所圍成圖形的面積（陰影部分）

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：

分析：（1）連接OD，由AC為圓O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD與AC垂直，又AC=BC，且∠C=90°，得到三角形ABC為等腰直角三角形，得到∠A=45°，所以∠CDG的度數(shù)，進(jìn)而求出∠ADG的度數(shù)；
（2）陰影部分的面積=直角三角形CDG的面積-（正方形的面積-扇形ODE的面積）．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出有關(guān)邊AB、OD的長，以及圓心角∠DOE的度數(shù)．進(jìn)而可根據(jù)扇形的面積和直角三角形的面積求得陰影部分的面積．

解答：解：（1）連接OD．
∵CD切⊙O于點D，
∴∠ODA=90°，∠DOA=45°，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD=

1

2

∠DOA=22.5°，
∴∠CDG=∠CDO-∠ODF=90°-22.5°=67.5°，
∴∠ADG=180°-∠CDG=112.5°；
（2）連OE，
∵⊙O與AC相切于點D、與BC相切于點E，
∴DC=CE，OD⊥AC，OE⊥BC，
∵∠C=90°，
∴四邊形ODCE為正方形，
∵AO=BO=

1

2

AB=

1

2

AC2+BC2

=3

2

，
∴OD=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∵∠BFG=∠BGF，
∴BG=BF=OB-OF=3

2

-3；
從而CG=CB+BG=3+3

2

；
∴S_陰影=S_△DCG-S_{正方形ODCE}+S_扇形ODE
=S_△DCG-（S_{正方形ODCE}-S_扇形ODE）
=

1

2

×3×（3+3

2

）-（3²-

1

4

π•3²）
=

9π

4

+

9 2

2

-

9

2

．

點評：此題考查了切圓的綜合知識．在運(yùn)用切線的性質(zhì)時，若已知切點，連接切點和圓心，得垂直；若不知切點，則過圓心向切線作垂直，即“知切點連半徑，無切點作垂直”．圓與相似三角形，及三角函數(shù)相融合的解答題、與切線有關(guān)的性質(zhì)與判定有關(guān)的證明題是近幾年中考的熱點，故要求學(xué)生把所學(xué)知識融匯貫穿，靈活運(yùn)用．