Question

問題：你能比較兩個數(shù)2010²⁰¹¹和2011²⁰¹⁰的大小嗎？為了解決問題，我們先把它抽象成數(shù)學(xué)問題，寫出它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大�。╪是正整數(shù)），然后，從分析n=1，n=2，n=3，…這些簡單情形入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜想出結(jié)論：已通過計算，比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大�。ㄌ睿�，＜，=）
①1²______2¹；②2³______3²；③3⁴______4³；④4⁵______5⁴；⑤5⁶______6⁵
（1）從上面的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關(guān)系是______．
（2）根據(jù)上面的歸納猜想得到的一般結(jié)論，試比較下列兩個數(shù)的大小：2010²⁰¹¹______2011²⁰¹⁰．

Answer 1

解：①1²=1，2¹=2，則1^2＜2¹；
②2³=8，3²=9，則2³＜3²；
③3⁴=81，4³=64，則3⁴＞4³；
④4⁵=1024，5⁴=625，則4⁵＞5⁴；
⑤5⁶＞6⁵；
故答案為：＜，＜，＞，＞，＞；
（1）從上面的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關(guān)系是：
當(dāng)n＜3時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當(dāng)n＞3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
故答案為：當(dāng)n＜3時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當(dāng)n＞3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（2）∵2010＞3，
∴2010²⁰¹¹＞2011²⁰¹⁰．
故答案為：＞．
分析：根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義分別進(jìn)行計算，再進(jìn)行比較即可；
（1）根據(jù)上述得出的答案分情況解答即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論解答即可．
點評：本題考查了有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的大小比較，理解有理數(shù)的乘方的意義準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．