Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，1）、B（3，5），要在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)，使得△PAB的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）

A.B.C.或D.或

Answer 1

【答案】B

【解析】

由題意可知：△PAB的周長(zhǎng)最小就是PA＋PB最小，根據(jù)P點(diǎn)在坐標(biāo)軸上分類討論：①若P在y軸上，作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交y軸于點(diǎn)P，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短即可得此時(shí)P點(diǎn)即為所求，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，從而求出P點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)求出此時(shí)的長(zhǎng)度；②若P在x軸上，原理同上，求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)，并同時(shí)求出此時(shí)的長(zhǎng)度，然后比較①②中兩個(gè)的長(zhǎng)度的大小，即可判斷哪種情況△PAB的周長(zhǎng)最小，從而判斷出P點(diǎn)坐標(biāo).

解：∵AB的長(zhǎng)度固定

∴△PAB的周長(zhǎng)最小就是PA＋PB最小

①若P在y軸上，如下圖所示，作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交y軸于點(diǎn)P

根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)：PA＋PB=，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知此時(shí)PA＋PB最小，且最小值即為的長(zhǎng)度，

∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1,1）

設(shè)直線的解析式為y=kx＋b，將的坐標(biāo)代入得：

解得：

∴直線的解析式為y=x＋2

當(dāng)x=0時(shí)，y=2

∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）

②若P在x軸上，如下圖所示，作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交x軸于點(diǎn)P

根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)：PA＋PB=，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知此時(shí)PA＋PB最小，且最小值即為的長(zhǎng)度，

∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,﹣1）

設(shè)直線的解析式為y=kx＋b，將的坐標(biāo)代入得：

解得：

∴直線的解析式為y=3x－4

當(dāng)y=0時(shí)，x=

∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（,0）

∵

∴當(dāng)P在y軸上時(shí)，的長(zhǎng)最小

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）

故選B.