Question

4．已知△ABC中，∠ACB=90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分別為D，E，F(xiàn)，且OD=OE=OF，F(xiàn)D交直線(xiàn)AC于M．
（1）如圖1，若點(diǎn)O在△ABC內(nèi)部，求證：AE+CM=AB；
（2）如圖2，若點(diǎn)O在△ABC外部，則（1）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE，CM，B三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接AO，OB，由△AOF≌△AOE得AF=AE，同理BF=BD，再根據(jù)△ODB≌△DCM得BD=CM，由AE+CM=AF+BF=AB得證．
（2）結(jié)論：AE-CM=AB，方法類(lèi)似（1）略．

解答 （1）證明：如圖1中，連接AO，OB．
∵OE⊥AC，OF⊥AB，
∴∠AEO=∠AFO=90°，
在RT△AOF和RT△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AO}\\{OF=OE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△AOE，
∴AE=AF，同理BF=BD，
∵OF=OD，BD=BF，
∴BO⊥FD，
∴∠OBD+∠BDF=90°，
∵∠BDF=∠MDC，∠MDC+∠M=90°，
∴∠M=∠OBD，
∵∠ODC=∠DCE=∠OEC=90°，
∴四邊形ODCE是矩形，
∵OE=OD，
∴四邊形ODCE是正方形，
∴OD=CD，
在△ODB和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBD=∠M}\\{∠ODB=∠DCM}\\{OD=DC}\end{array}\right.$
∴△ODB≌△DCM，
∴BD=CM，
∴AE+CM=AF+BF=AB．
（2）結(jié)論：AE-CM=AB，理由如下：
證明：如圖2中，連接AO，OB．
∵OE⊥AC，OF⊥AB，
∴∠AEO=∠AFO=90°，
在RT△AOF和RT△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AO}\\{OF=OE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△AOE，
∴AE=AF，同理BF=BD，
∵OF=OD，BD=BF，
∴BO⊥FD，
∴∠OBD+∠BDF=90°
∵∠BDF=∠MDC，∠MDC+∠CMD=90°，
∴∠CMD=∠OBD，
∵∠ODC=∠DCE=∠OEC=90°，
∴四邊形ODCE是矩形，
∵OE=OD，
∴四邊形ODCE是正方形，
∴OD=CD，
在△ODB和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ODB=∠CMD}\\{∠ODB=∠DCM}\\{OD=DC}\end{array}\right.$，
∴△ODB≌△DCM，
∴BD=CM，
∴AE-CM=AF-BF=AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、正確尋找全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．