Question

11．問題提出
我們在分析解決某些數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小，而“作差法”就是常用的解決問題的策略之一．所謂“作差法”：就是通過作差、變形，并利用差的符號確定他們的大小．
（1）利用“作差法”解決問題
如圖1，把邊長為a+b（a≠b）的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形，設(shè)兩個小正方形面積之和為M，兩個矩形面積之和為N，試比較M與N的大小．
（2）類比應(yīng)用
①已知甲、乙兩人的速度分別是V_甲=$\frac{x+y}{2}$千米/小時、V_乙=$\frac{2xy}{x+y}$千米/小時（x、y是正數(shù)，且x≠y），試比較V_甲、V_乙的大�。�
②如圖2，在邊長為a的正方形ABCD中，以A為圓心，$\frac{3}{4}a$為半徑畫弧交AB、AD于點E、F，以CD為直徑畫弧，若圖中陰影部分的面積分別為S₁，S₂，試比較S₁與S₂的大�。�

Answer 1

分析 （1）利用作差法比較M與N大小即可；
（2）①利用甲、乙兩人的速度作差，進而結(jié)合完全平方公式，比較即可；
②分別利用扇形面積求法表示出S₁，S₂的值，進而比較得出答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：M=a²+b²，N=ab+ab，
∵M-N=a²+b²-2ab=（a-b）²＞0，
∴M＞N；

（2）①∵甲、乙兩人的速度分別是V_甲=$\frac{x+y}{2}$千米/小時、V_乙=$\frac{2xy}{x+y}$千米/小時，
∴$\frac{x+y}{2}$-$\frac{2xy}{x+y}$=$\frac{（x+y）^{2}}{2（x+y）}$-$\frac{4xy}{2（x+y）}$=$\frac{（x-y）^{2}}{2（x+y）}$＞0，
∴V_甲、V_乙的大小關(guān)系為：V_甲＞V_乙；
②設(shè)兩陰影部分的公共空白面積為d，則S₁=$\frac{90π（\frac{3}{4}a）^{2}}{360}$-d=$\frac{9π}{64}$a²-d，
S₂=$\frac{180π×（\frac{a}{2}）^{2}}{360}$-d=$\frac{{πa}^{2}}{16}$-d，
∵$\frac{9π}{64}$a²＞$\frac{{πa}^{2}}{16}$，
∴S₁＞S₂．

點評 此題主要考查了四邊形綜合以及扇形面積求法和分式的加減運算等知識，正確進行作差比較兩式大小是解題關(guān)鍵．