Question

經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）的直線l：y=kx+2（k≠0）與反比例函數(shù)G₁y1=

m

x

(m≠0)的圖象交于點(diǎn)A（-1，a），B（b，-1），與y軸交于點(diǎn)D．
（1）求直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及反比例函數(shù)G₁的表達(dá)式；
（2）反比例函數(shù)G₂：y2=

t

x

(t≠0)，
①若點(diǎn)E在第一象限內(nèi)，且在反比例函數(shù)G₂的圖象上，若EA=EB，且△AEB的面積為8，求點(diǎn)E的坐標(biāo)及t值；
②反比例函數(shù)G₂的圖象與直線l有兩個(gè)公共點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），若DM+DN＜3

2

，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法把（1，1）代入y=kx+2可得k的值，進(jìn)而得到直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；利用一次函數(shù)解析式求出a、b的值，然后再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)G₁函數(shù)表達(dá)式即可；
（2）由條件EA=EB，A（-1，3），B（3，-1）可得點(diǎn)E在直線y=x上，再根據(jù)△AEB的面積為8，AB=4

2

，可得EH=2

2

，進(jìn)而得到E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)題意得出當(dāng)t＞0時(shí)，以及當(dāng)t＜0時(shí)，分別利用數(shù)形結(jié)合得出t的最值．

解答：解：（1）∵直線l：y=kx+2（k≠0）經(jīng)過(guò)（1，1），
∴k=-1，
∴直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-x+2．
∵直線l與反比例函數(shù)G_1：y1=

m

x

(m≠0)的圖象交于點(diǎn)A（-1，a），B（b，-1），
∴a=b=3．
∴A（-1，3），B（3，-1）．
∴m=-3．
∴反比例函數(shù)G₁函數(shù)表達(dá)式為y=-

3

x

．

（2）①∵EA=EB，A（-1，3），B（3，-1），
∴點(diǎn)E在直線y=x上．
∵△AEB的面積為8，AB=4

2

，
∴EH=2

2

．
∴△AEB 是等腰直角三角形．
∴E （3，3），
此時(shí)t=3×3=9

②分兩種情況：

（�。┊�(dāng)t＞0時(shí)，
∵y=-x+2，與x軸交于點(diǎn)F（2，0），與y軸交于點(diǎn)D（0，2），
∴DF=2

2

，
∴DM+DN＜3

2

，
∴只要y=-x+2與y₂=

t

x

有交點(diǎn)坐標(biāo)即可，
∴-x+2=

t

x

，
整理得：x²-2x+t=0，
∴b²-4ac＞0，
∴4-4t＞0，
解得：t＜1，
則0＜t＜1；

（ⅱ）當(dāng)t＜0時(shí)，當(dāng)DM+DN=3

2

，
則DM=FN=

2

2

，
∵y=-x+2，與x軸交于點(diǎn)F（2，0），與y軸交于點(diǎn)D（0，2），
∴可求出M（-

1

2

，

5

2

），
則xy=t=-

5

4

，
則-

5

4

＜t＜0．
綜上，當(dāng)-

5

4

＜t＜0或0＜t＜1時(shí)，反比例函數(shù)G₂的圖象與直線l有兩個(gè)公共點(diǎn)M，N，且DM+DN＜3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及等腰直角三角形的性質(zhì)和根的判別式等知識(shí)，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．