Question

13．已知等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，動(dòng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合）．
（1）如圖1，點(diǎn)P在線段BC上，作∠APQ=45°，PQ交AC于點(diǎn)Q．
①求證：△ABP∽△PCQ；②當(dāng)△APQ是等腰三角形時(shí)，求AQ的長．
（2）①如圖2，點(diǎn)P在BC的延長線上，作∠APQ=45°，PQ的反向延長線與AC的延長線相交于點(diǎn)D，是否存在點(diǎn)P，使△APD是等腰三角形？若存在，寫出點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；
②如圖3，點(diǎn)P在CB的延長線上，作∠APQ=45°，PQ的延長線與AC的延長線相交于點(diǎn)Q，是否存在點(diǎn)P，使△APQ是等腰三角形？若存在，寫出點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=45°，證明∠BAP=∠QPC，根據(jù)相似三角形的判定定理證明結(jié)論；
②分AP=AQ、AP=PQ和AQ=PQ三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)解答；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理證明△CAP∽△PAD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；
（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）①∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAP+∠APB=135°，
∠APB+∠QPC=135°，
∴∠BAP=∠QPC，
∴△ABP∽△PCQ；
②當(dāng)AP=AQ時(shí)，∠APQ=∠AQP=45°，
∴∠PAQ=90°，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)B、點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，不合題意；
當(dāng)AP=PQ時(shí)，∵△ABP∽△PCQ，
∴△ABP≌△PCQ，
∴AB=PC=2，
∴BP=CQ=2$\sqrt{2}$-2，
∴AQ=AC-CQ=4-2$\sqrt{2}$；
當(dāng)AQ=PQ時(shí)，∠PAQ=∠APQ=45°，
∴∠APC=∠AQP=90°，
∴AQ=PQ=QC=1；
（2）存在，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAP+∠APC=45°，
∵∠APQ=45°，
∴∠CAP+∠D=45°，
∴∠APC=∠D，
∴△CAP∽△PAD，
∴$\frac{AC}{AP}$=$\frac{PC}{PD}$，又AP=PD，
∴PC=AC=2；
（3）不存在，
∵P和B不重合，
∴∠PAQ＞90°，
∴∠APQ=45°，∠AQP＜45°，
∴AP≠AQ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．