Question

【題目】已知方程+px+q＝0的兩個(gè)根是，，那么+＝－p， ＝q，反過來，如果+＝－p， ＝q，那么以，為兩根的一元二次方程是+px+q＝0．請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：

(1)已知關(guān)于x的方程+mx+n＝0(n≠0)，求出—個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是已知方程兩根的倒數(shù)．

(2)已知a、b滿足－15a－5＝0，－15b－5＝0，求的值．

(3)已知a、b、c均為實(shí)數(shù)，且a+b+c＝0，abc＝16，求正數(shù)c的最小值

Answer 1

【答案】（1）ny2+my+1=0；（2）-47或2；（3）c的最小值為4．

【解析】

（1）先設(shè)方程x2+mx+n=0，（n≠0）的兩個(gè)根分別是x1，x2，得出+=﹣=，再根據(jù)這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，即可求出答案．

（2）分兩種情況討論：①當(dāng)a≠b時(shí)，根據(jù)a、b滿足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值；②當(dāng)a=b時(shí)，直接得出答案．

（3）根據(jù)a+b+c=0，abc=16，得出a+b=﹣c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再根據(jù)c2﹣4≥0，即可求出c的最小值．

（1）設(shè)方程x2+mx+n=0，（n≠0）的兩個(gè)根分別是x1，x2，則：+==﹣==，若一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，則這個(gè)一元二次方程是：y2+y+=0，整理得：ny2+my+1=0；

（2）分兩種情況討論：①當(dāng)a≠b時(shí)，∵a、b滿足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，∴a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，∴a+b=15，ab=﹣5，∴====﹣47．

②當(dāng)a=b時(shí)，原式=2；

（3）∵a+b+c=0，abc=16，∴a+b=﹣c，ab=，∴a、b是方程x2+cx+=0的解，∴c2﹣4≥0，c2﹣≥0．

∵c是正數(shù)，∴c3﹣43≥0，c3≥43，c≥4，∴正數(shù)c的最小值是4．