Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB=8，點C在半徑OA上（點C與點D、A不重合），過點C作AB的垂線交⊙O于點D，連結(jié)OD，過點B作OD的平行線交⊙O于點E、交射線CD于點F．

（1）若

ED

=

BE

，求∠F的度數(shù)；
（2）設(shè)線段OC=a，求線段BE和EF的長（用含a的代數(shù)式表示）；
（3）設(shè)點C關(guān)于直線OD的對稱點為P，若△PBE為等腰三角形，求OC的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理得出即可；
（2）首先證明△HBO≌△COD（AAS），進而利用△COD∽△CBF，得出比例式求出EF的長；
（3）分別利用①當PB=PE，不合題意舍去；②當BE=EP，③當BE=BP，求出即可．

解答：解：（1）如圖1，連接EO，
∵

DE

=

BE

，
∴∠BOE=∠EOD，
∵DO∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵BO=EO，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；

（2）如圖1，作HO⊥BE，垂足為H，
∵在△HBO和△COD中

∠DCO=∠OHB=90° ∠OBE=∠COD BO=DO

，
∴△HBO≌△COD（AAS），
∴CO=BH=a，
∴BE=2a，
∵DO∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴

DO

BF

=

CO

BC

，
∴

4

2a+EF

=

a

4+a

，
∴EF=

4a+16-2a2

a

；

（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，
∴∠COD=∠DOE，
∴C關(guān)于直線OD的對稱點為P在線段OE上，
若△PEB為等腰三角形，設(shè)CO=x，∴OP=OC=x，則PE=EO-OP=4-x，
由（2）得：BE=2x，
①當PB=PE，不合題意舍去；
②當BE=EP，2x=4-x，解得：x=

4

3

，
③當BE=BP，作BM⊥EO，垂足為M，
∴EM=

1

2

PE=

4-x

2

，
∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，
∴△BEM∽△DOC，
∴

BE

DO

=

EM

CO

，
∴

2x

4

=

4-x 2

x

，
整理得：x²+x-4=0，
解得：x=

-1± 17

2

（負數(shù)舍去），
綜上所述：當CO的長為

4

3

或

-1+ 17

2

時，△PEB為等腰三角形．

點評：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)與判定等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．