Question

19．如圖，在等邊三角形ABC中，AD是高，點G為AD的中點，過G作EF∥AC交AB于點F，交CD于點E，下列說法正確的有①③④（將你認為正確選項的序號都填上）．
①∠AGF=30°；②AD=EF；③EG=2FG；④S_△GDE=2S_△AFG．

Answer 1

分析 先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠DAC=30°，再由平行線的性質(zhì)可得出∠AGF的度數(shù)；設(shè)AC=a，由直角三角形的性質(zhì)求出AD的長，再由EF∥AC，G是AD的中點可求出EF的長，故可得出②錯誤；根據(jù)三角形中位線定理求出EG的長，進而可得出EG的長，得出③正確；過點F作FH∥BC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出FH=$\frac{1}{2}$DE，由三角形的面積公式可知④正確．

解答 解：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，
∴∠DAC=30°．
∵EF∥AC，
∴∠AGF=∠DAC=30°，故①正確；
設(shè)AC=a，
∵∠DAC=30°，
∴AD=AC•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a；
∵點G為AD的中點，
∴GE是△ADC的中位線，
∴點E時CD的中點，
∴EF=$\frac{3}{4}$AC=$\frac{3}{4}$a，
∴AD≠EF，故②錯誤；
∵EF=$\frac{3}{4}$AC=$\frac{3}{4}$a，GE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$a，
∴EG=2FG，故③正確；
過點F作FH∥BC，
∵AH∥DE，
∴△FGH∽△EGD．
∵EG=$\frac{1}{2}$FG，
∴FH=$\frac{1}{2}$DE．
∵AG=GD，
∴S_△GDE=2S_△AFG，故④正確．
故答案為：①③④．

點評 本題考查的是三角形中位線定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵．