Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)，已知正方形的三個(gè)頂點(diǎn)為，，．

（1）若當(dāng)時(shí)，求，，并寫出拋物線對(duì)稱軸及的最大值；

（2）求證：拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上；

（3）若拋物線與直線交于點(diǎn)，求為何值時(shí)，的面積為1；

（4）若拋物線經(jīng)過(guò)正方形區(qū)域（含邊界），請(qǐng)直接寫出的取值范圍．

（參考公式：的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．

Answer 1

【答案】（1），，對(duì)稱軸為直線，y最大值為4；（2）見(jiàn)解析；（3）當(dāng)n的值為或1時(shí)，的面積為1；（4）

【解析】

（1）解：當(dāng)時(shí)，則，

∵拋物線的經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)P，

∴，解得，

∴拋物線解析式為，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，y有最大值為4；

（2）證明：把O、P的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，

解得，

∴拋物線解析式為，

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

在中，當(dāng)時(shí)，，

∴拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上；

（3）解：在中，當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為，

∴N到x軸的距離為，

∵，

∴，

∴，

當(dāng)的面積為1時(shí)，則有，

當(dāng)時(shí)，N、P重合，不成立，

當(dāng)時(shí)，則，

解得或 （此時(shí)n小于2，舍去），

當(dāng)時(shí)，則，解得，

綜上可知，當(dāng)n的值為或1時(shí)，的面積為1；

（4）解：.

【解法提示】∵拋物線解析式為，

∴當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，代入可得，解得，

同理，當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)B時(shí)可求得，

當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)C時(shí)可求得，

當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)D時(shí)可求得，

∴n的取值范圍為.