Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一點(diǎn)，BE交AC于F，連接DF．

（1）證明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．

（2）若AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形；

（3）在（2）的條件下，試確定E點(diǎn)的位置，∠EFD=∠BCD，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．

分析：（1）首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再證明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，進(jìn)而得到∠AFD=∠CFE；

（2）首先證明∠CAD=∠ACD，再根據(jù)等角對等邊可得AD=CD，再有條件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四邊形ABCD是菱形；

（3）首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根據(jù)BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，進(jìn)而得到∠EFD=∠BCD．

解答：（1）證明：∵在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BAC=∠DAC，

∵在△ABF和△ADF中，

∴△ABF≌△ADF，

∴∠AFD=∠AFB，

∵∠AFB=∠AFE，

∴∠AFD=∠CFE；

（2）證明：∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD，

又∵∠BAC=∠DAC，

∴∠CAD=∠ACD，

∴AD=CD，

∵AB=AD，CB=CD，

∴AB=CB=CD=AD，

∴四邊形ABCD是菱形；

（3）當(dāng)EB⊥CD時，∠EFD=∠BCD，

理由：∵四邊形ABCD為菱形，

∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，

在△BCF和△DCF中，

∴△BCF≌△DCF（SAS），

∴∠CBF=∠CDF，

∵BE⊥CD，

∴∠BEC=∠DEF=90°，

∴∠EFD=∠BCD．

點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．