Question

（2011山東煙臺，25，12分）

已知：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，E是直線AB上一動點（不與點A、B、G重合），直線DE交⊙O于點F，直線CF交直線AB于點P.設⊙O的半徑為r.

（1）如圖1，當點E在直徑AB上時，試證明：OE·OP＝r²

（2）當點E在AB（或BA）的延長線上時，以如圖2點E的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標注上字母，（1）中的結論是否成立？請說明理由.

 

Answer 1

 

     

（1）證明：連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ.

∵FQ是⊙O直徑，∴∠FDQ＝90°. ∴∠QFD＋∠Q＝90°.

∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.

∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.

∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.

∴.∴OE·OP＝OF²＝r².

（2）解：（1）中的結論成立.

理由：如圖2，依題意畫出圖形，連接FO并延長交⊙O于M，連接CM.

∵FM是⊙O直徑，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°.

∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.

∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.

∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.

∴，∴OE·OP＝OF²＝r².

解析:略