Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的角平分線AD交BC于點D，過點D作DE⊥AD，交AB于點E．以AE為直徑作⊙O．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若AE=6，AC=，求△ADB的面積．

Answer 1

（1）證明：連接OD，如圖．
∵AE為⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°，
∴D點在⊙O上．
∴OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO．
又∵∠CAB的角平分線AD交BC于點D，
∴∠CAD=∠DAO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，而∠C=90°．
∴∠ODC=90°．
所以BC是⊙O的切線；

（2）解：由已知和（1）得：OD=OE=AE=3，
又AC∥OD（已證），
∴△ABC∽△OBD，
設BE=x，
則有=，即=，
得：x=2，即BE=2，
∴OB=BE+OE=2+3=5，
在直角三角形OBD中，由勾股定理得：
BD===4，
所以△ADB的面積為BD•AC=×4×=．
分析：（1）如圖，連接OD，分別利用角平分線的性質和等腰三角形的性質可以得到∠CAD=∠ODA，然后利用平行線的判定證明OD∥AC，由此即可證明題目的結論；
（2）由（1）可得△ABC∽△OBD，設BE=x，則有=，可求出BE、OB，根據(jù)勾股定理可求出BD，那么得△ADB的面積=BD•AC．
點評：此題考查的知識點是切線的判定與性質、角平分線的性質、圓周角定理及相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是（1）利用角平分線的性質和等腰三角形的性質可以得到∠CAD=∠ODA；（2）通過證明三角形相似和運用勾股定理求解．