Question

如圖，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等邊三角形．
（1）求證：四邊形ADEF是平行的四邊形；
（2）△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是菱形？說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA=60°，
∴∠DBE=∠ABC，
在△ABC與△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS）
∴AC=DE，
又∵△ACF是等邊三角形，
∴AF=AC，
∴DE=AF，
同理可得：EF=AD，
∴四邊形ADEF平行四邊形；

（2）答：△ABC滿足AB=AC≠BC時(shí)，四邊形ADEF是菱形．理由如下：
若四邊形DAFE是菱形，
則AD=AF，
∵△ABD，△ACF都是等邊三角形，
∴AD=AB，AF=AC，
∴AB=AC，
但當(dāng)AB=AC=BC時(shí)，△ABC是等邊三角形，和△EBC就重合了，四邊形ADEF不存在．
故當(dāng)AB=AC≠BC時(shí)，四邊形ADEF是菱形．
分析：（1）根據(jù)△ABD與△BCE是等邊三角形，利用邊角邊定理容易得到全等條件證明△ABC≌△DBE，然后利用全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)得到DE=AC，又因?yàn)椤鰽CF也是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等的性質(zhì)，AC=AF，所以DE=AF，同理可證AD=EF，然后根據(jù)兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形即可證明；
（2）根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以四邊形ADEF是菱形，也就是平行四邊形ADEF的鄰邊AD=AF，再根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等，可得AB=AC，但當(dāng)AB=BC時(shí)，△ABC與△EBC重合，四邊形ADEF不存在，所以AB=AC≠BC時(shí)，四邊形ADEF是菱形．
點(diǎn)評：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，是小綜合題，但難度不大，（2）中需要注意AB=AC≠BC的條件，否則四邊形ADEF不存在，這也是同學(xué)們?nèi)菀缀鲆暥鴮?dǎo)致出錯(cuò)的地方．