Question

已知點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB=OC
（1）如圖1，若點O在BC上，求證：AB=AC．
（2）如圖2，若點O在△ABC內(nèi)部，求證：AB=AC．
（3）猜想，若O點在△ABC的外部，AB=AC成立嗎？

Answer 1

證明：（1）過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，
則OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
∵，
∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；

（2）過點O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
則OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
∵，
∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），
∴∠DBO=∠ECO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（3）不一定成立．
證明：如圖3，過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延長線于點E，
則OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
∵，
∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），
∴∠DBO=∠ECO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠DBC=∠ECB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
如圖4，可知AB≠AC．
分析：（1）首先過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，易證得Rt△BOD≌Rt△COE，即可得∠B=∠C，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)，即可證得AB=AC；
（2）首先過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，易證得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，易證得∠ABC=∠ACB，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)，AB=AC；
（3）首先過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延長線于點E，易證得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，易證得∠ABC=∠ACB，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)，AB=AC．
點評：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形全等的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．