Question

已知點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)O在線段AB延長(zhǎng)線上，以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑作圓，點(diǎn)C是圓O上的一點(diǎn)。
（1）如圖，如果AP=2PB，PB=BO，求證：△CAO∽△BCO；
（2）如果AP=m（m是常數(shù)，且m＞1），BP=1，OP是OA，OB的比例中項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)C在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AC：BC的值（結(jié)果用含m的式子表示）；
（3）在（2）的條件下，討論以BC為半徑的圓B和以CA為半徑的圓C的位置關(guān)系，并寫出相應(yīng)m的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∵，
∴AO=2PO，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）設(shè)，則OB=x-1，OA=x+m，
∵OP是OA，OB的比例中項(xiàng)，
∴
得，即，
∴
∵OP是OA，OB的比例中項(xiàng)，即，
∵，
∴，
設(shè)圓O與線段AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P，點(diǎn)Q不重合時(shí)，
∵
∴
∴
∴；
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P或點(diǎn)Q重合時(shí)，可得，
當(dāng)點(diǎn)C在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，；
（3）由（2）得，，且，，圓B和圓C的圓心距d=BC，顯然，
∴圓B和圓C的位置關(guān)系只可能相交、內(nèi)切或內(nèi)含，
當(dāng)圓B與圓C相交時(shí)，，得，
，
當(dāng)圓B與圓C內(nèi)切時(shí)，，得m=2；
當(dāng)圓B與圓C內(nèi)含時(shí)，，得m>2。